序列的表示

序列（Sequence）是指按照一定顺序排列的一组对象（通常是数）。序列中的每个对象称为项（Term）

序列的三种描述

序列的极限和敛散性

序列\(\{a_n\}\)有极限 \(L\)，写作\(\lim_{n \to \infty} a_n = L\) 或 \(a_n \to L \text{ 当 } n \to \infty\)

如果 \((\lim_{n \to \infty} a_n)\) 存在，序列收敛。否则，序列发散

序列极限的运算法则

夹逼定理求序列极限

极限的连续性定理（Limit Continuity Theorem）

这个定理表明，如果函数 f在 L 处连续，那么我们可以将极限运算“传递”到函数内部即

$$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f\left( \lim_{n \to \infty} a_n \right)$$

在计算复杂极限时，可以将极限运算与函数运算交换顺序，从而简化计算。

序列的单调性

The sequence \({r^n}\) is convergent if\(-1 < r \leq 1\) and divergent for all other values of \(r\).

$$\lim_{n \to \infty} r^n =
\begin{cases}
0 & \text{if } -1 < r < 1 \\
1 & \text{if } r = 1
\end{cases}$$

A sequence ({a_n}) is called increasing if \(a_n < a_{n+1}\) for all \(n \geq 1\), that is, \(a_1 < a_2 < a_3 < \cdots\). It is called decreasing if \(a_n > a_{n+1}\) for all \(n \geq 1\). It is called monotonic单调的 if it is either increasing or decreasing.

Bounded sequence 有界序列

Series 级数

指的是将一个数列的项依次相加所得到的和。具体来说，给定一个数列 {an}，其级数可以表示为：

$$S = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty a_n$$

级数的敛散性

几何级数的敛散性

调和级数

其他级数

级数收敛条件

如果级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛，则 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。

此处并不说级数收敛到零，级数当然可以收敛到其他值。而是要求级数对应的序列的极限趋于0，否则级数不可能收敛。这是级数收敛的必要条件。逆命题在一般情况下不成立，比如调和级数：序列的极限趋于0，但是级数并不收敛

在实际应用中，若发现某一项的极限不为零，那么我们可以立刻得出结论，这个级数是发散的。

TEST FOR DIVERGENCE 如果 \(\lim_{n \to \infty} a_n\) 不存在或 \(\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\)，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散。

如果 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)，我们对级数 \(\sum a_n\) 的收敛性或发散性一无所知。如果 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)，级数 \(\sum a_n\) 可能收敛，也可能发散。

复合收敛级数

有限数量的项不会影响级数的收敛性或发散性