发明初衷及公式

泰勒级数是用多项式拟合一个函数，但用非周期函数去拟合一个周期函数，无法较好的体现周期函数的性质。因此使用最基本的周期函数即sin和cos去拟合周期为2Π（如果函数无周期或周期不是2Π的解决方案分别是展开和替换变量，见后）函数，因此引入三角级数又称傅里叶级数

\(\cos(0\omega t)\)的结果是a0，为了形式的统一改写为 \(\frac{a_0}{2}\)

$$f(t) = \frac{a_0}{2} + a_1 \cos(\omega t) + b_1 \sin(\omega t) + a_2 \cos(2\omega t) + b_2 \sin(2\omega t) + \cdots$$
$$ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)] $$

其中

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos(n\omega t) \, dt $$
$$ b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin(n\omega t) \, dt $$

其中w为信号的频率，w = 2Π / T。后面都讨论T =2Π的情况，故w=1可省略不写

另外可通过欧拉公式将其写为复指数形式

$$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 t} $$

三角函数系及其正交性

三角函数系并不是一个坐标系，而是一个无限长的函数集合，包含了常数函数1 以及所有频率为nω（n 为正整数）的正弦函数和余弦函数。这些函数在傅里叶分析中用作基函数，用于表示其他函数，作为函数空间中的基，可以将三角函数系类比为向量空间中的基向量：

• 在向量空间中，任何向量都可以表示为基向量的线性组合。
• 在函数空间中，任何函数都可以表示为三角函数系中函数的线性组合。

三角函数系有正交性，对于2个向量正交即为内积为0，对于两个函数的内积的积分为0。

(2)为0的原因是因为cos自变量相差的一个周期也可以从奇偶性的角度解释，345用积化和差证明

推导an和bn

例题:

• 1.将需要转化的函数变成周期函数，再将展开的函数的定义域限制在（-Π，Π）中
• 2.套公式求出a0，an，bn。再套公式求出F（x）
• 3.可以发现拓展后的函数在nΠ的点处不连续

狄利克雷收敛条件

狄利克雷收敛条件描述了在什么情况下，一个周期函数的傅里叶级数会收敛到该函数的原始值。换句话说，傅里叶级数可以准确地表示该函数(上题的等价改为等于的条件)

既然傅里叶级数展开的合函数在某些点不连续，没法拟合原来的值，所以只能取就取该点左极限和右极限各的一半即平均值。

正弦级数和余弦级数

正弦级数和余弦级数是傅里叶级数的两种特殊形式，分别由正弦函数（sin）和余弦函数（cos）组成。它们通常用于表示奇函数或偶函数的傅里叶展开

周期为2L的函数如何展开

将周期为2L的原函数 f(x)通过变量代换变成一个新的周期为2Π的函数 F(t)