基础概念
- 样本空间 Ω ：实验所有结果的集合。
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事件空间 F ：表示实验的后果。即样本空间的幂集 F=P (Ω)。事件空间由我们关心的所有事件组成，事件可以是空集、单个结果或结果的集合，互补事件\(A^c = \Omega \setminus A\) 由不在 A 中的所有结果组成
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概率函数 P：是对 F 中事件概率的评估
离散概率和连续概率：Ω 有有限数量的元素，或者其元素可以列出时，样本空间的元素无法列出时：例如，物理量在连续尺度上，如温度、高度
例：事件 A={分数是奇数} 是什么？事件 B={分数小于 3} 是什么？事件 C={分数是奇数且小于 3} 是什么？有多少不同的事件？事件空间是什么？
解：Ω={1,2,3,4,5,6} 且 ∣Ω∣=6。A={1,3,5}。B={1,2}。C=A∩B={1}。∣P (Ω)∣=\(2^{6}\)=64。事件空间是 F=P ({1,2,3,4,5,6})，然后 ∣F∣=26=64∣F∣=26=64。有太多子集无法
为什么是 \(2^{6}\)?
幂集的大小公式
- 对于一个有限集合 Ω，如果 ∣Ω∣=n（即 Ω 有 n 个元素），它的幂集 P (Ω) 的大小为：
$$| \mathcal{P}(\Omega) | = 2^{n}$$
因为每个元素有两种选择：要么包含在某个子集中，要么不包含。
概率函数性质
如果 A1∩A2=∅则 P (A1∪A2)=P (A1)+P (A2)。即：当事件不相交时，A1 或 A2 的概率是各个概率的总和。换句话说，如果一个事件可以通过两种不同的方式实现，且这两种方式不能同时发生，那么这个事件的概率就是两个组成事件的概率之和。
以下是 P 的一些性质，它们是定义的直接结果。设 A 和 B 是两个事件。
- \(P (A^c) = 1 – P (A)\)；特别是 P (∅)=0
- \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)\)
- 如果 A⊆BA⊆B，则 \(P (A) \leq P (B)\)
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
例题
- Suppose we pick a letter at random from the word HILLINGDON. What is the sample space and what probabilities should be assigned to the outcomes?
样本空间 \(\Omega: \{H, I, L, N, G, D, O\}\)
\(P(H) = \frac{1}{10}, \) \(P(I) = P(L) = P(N) = \frac{2}{10}, \) \(P(G) = P(D) = P(O) = \frac{1}{10}.\)
注意样本空间不包括重复的项，实际计算概率时要算进重复的情况
先全排列再将重复的情况去除
- How many distinct 9 digit numbers can be formed from the digits {1,4,5,6,9,6,5,4,1} if we insist that odd digits have to be placed in odd position?Given a 9 digit number formed from these digits, what is the probability that odd digits are placed in odd position?
奇数有5个（1, 5, 9, 1, 5），需要放入5个奇数位。由于1和5各重复2次，排列数为：$$\frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{120}{4} = 30$$
偶数有4个（4, 6, 4, 6），需要放入4个偶数位。由于4和6各重复2次，排列数为：$$ \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$$
奇数和偶数的排列是独立的，因此总排列数为：\(30 \times 6 = 180\)
概率：总排列数 \(\frac{9!}{(2!)^4} = 22,680\) 概率：\(\frac{180}{22,680} = \frac{1}{126}\)
- N people enter a room and shake hands. How many handshakes have taken place?
$$C(N, 2) = \frac{N \times (N-1)}{2}$$
1个人与另外N-1个人握一次手，有N个人。这个过程，一次握手算了2个人各一次，所以除2
