参数方程与极坐标 – Skyshin34的博客

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参数方程和参数曲线的定义：

假设 \( x \) 和 \( y \) 都由第三个变量 \( t \)（称为参数）通过以下方程给出：\(\)

\[x = f(t) \quad y = g(t)\]

（称为参数方程）。每个 \( t \) 的值确定一个点 \((x, y)\)。随着 \( t \) 的变化，点 \((x, y) = (f(t), g(t))\) 也会变化并描绘出一条曲线 \( C \)，我们称之为参数曲线。

FAMILIES OF PARAMETRIC CURVES 参数曲线族

研究以下参数方程定义的曲线族：\[x = a + \cos t\] \[y = a \tan t + \sin t\]

当 a<−1时，两支曲线都是光滑的；但当 a达到 −1时，右支曲线出现一个尖锐点sharp point，称为尖点cusp。对于 a 在 −1 和0之间，尖点变成一个环，随着 a 接近0，环变大。当 a=0 时，两支曲线合并形成一个圆。对于 a 在0和1之间，左支曲线有一个环，当 a=1 时，环缩小为尖点。对于 a>1，两支曲线再次变得光滑，并且随着 a 进一步增加，曲率减小。

作业完成记录：

Visual Studio 中的 Python 教程步骤 5，安装包 | Microsoft Learn

按照上面的步骤在VS中导入Python的matplotlib库

from math import radians
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置参数范围
a_values = np.arange(-5, 5.5, 0.5)  # a从-5到5，步长0.5
t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)  # t从-2π到2π

plt.figure(figsize=(10, 8))

for a in a_values:
    # 计算x和y值
    x = a + np.cos(t)
    y = a * np.tan(t) + np.sin(t)
    
    # 处理奇点（tan(t)的无穷大点）
    # 找到cos(t)接近0的点（即tan(t)接近无穷大的点）
    mask = np.abs(np.cos(t)) > 0.01  # 忽略cos(t)接近0的点
    
    # 绘制曲线
    plt.plot(x[mask], y[mask], label=f'a={a:.1f}')

# 美化图形
plt.title('Family of Curves: x = a + cos(t), y = a*tan(t) + sin(t)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlim(-10, 10)  # 根据需要调整
plt.ylim(-20, 20)  # 根据需要调整
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1), loc='upper left')  # 将图例放在图外右侧

plt.tight_layout()
plt.show()

Aec Length 弧长

圆的弧长 – 圆弧

\[l = \alpha r\] 角为弧度制表示角的单位写作rad

一般光滑曲线的弧长公式

由平面直角坐标得到的弧长公式

但该弧长计算方法只能计算形如 \( y = y(x) \)，\( x \in [a, b] \) 或者 \( x = x(y) \)，\( y \in [a, b] \) 的曲线。当计算形如圆、螺线、双纽线等曲线弧长时，由于曲线可能出现“回转”，\( y'(x) \) 或 \( x'(y) \) 回转处会发散到无穷大。为了解决这个问题，可以将曲线先分割成若干段可以表示成函数形式的曲线，再分别进行计算。此外，有的曲线在直角坐标系中的表达式非常复杂，它的参数方程却非常简洁，这时不妨采用参数方程进行计算。

由参数方程得到的弧长公式

证明：

例题：

POLAR COORDINATES 极坐标

表示方法

P 是平面中的任意其他点，设 r为从 O到 P 的距离，θ为极轴与直线 OP之间的角度（通常以弧度为单位），点 P 由有序对 (r,θ)表示，r和 θ称为 P的极坐标。规定

角度为+代表从极轴逆时针方向，-代表顺时针方向旋转
如果 \(r > 0\)，点 \((r, \theta)\) 位于 \(\theta\) 所在的象限；如果 \(r < 0\)，则位于极点的相反象限。注意，\((-r, \theta)\) 表示的点与 \((r, \theta + \pi)\) 相同。
如果 P=O，则 r=0，并且我们约定 (0,θ)对任意 θ 值都表示极点。